例一：给定n堆物品，第 i 堆物品有 Ai 个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采用最优策略，问先手能否获胜。

1.概念

1.1 局面：游戏过程中面临的状态称为局面。

1.2 先手与后手：整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动称为后手。

1.3 最优策略：若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对手面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面称为必胜。

2.NIM博弈

2.1 结论：NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。

2.2 定理：NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 xor A2 xor A3 xor ... xor An != 0。

2.3 证明：待补充

3.公平组合游戏ICG

3.1 定义：若一个游戏满足：

1. 由两名玩家交替行动。
2. 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关。
3. 不能行动的玩家判负。

3.2 解法：公平组合游戏（ICG）可以用构造函数的方法来求解局面。难点在于如何对每种ICG都构造一个合适的函数，有没有一个普适的函数？SG函数解决了这个问题。

4.有向图游戏

4.1 定义：给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。

4.2 推广：任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

5.Mex运算

5.1 定义：设 S 表示一个非负整数合计。定义mex(S) 为求出不属于集合 S 的最小非负整数的运算，即

                                 mex( S )  = min{x|x 属于 N，x不属于S}

6.SG函数

6.1 定义：在有向图游戏中，对于每个节点x，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点y1,y2 , ... yk ，定义SG(x) 为 x 的后继节点y1,y2,...yk的SG函数值构成的集合再执行mex运算的结果，即：

                                      SG(x) = mex( { SG(y1) , SG(y2) , ... , SG(yk) } )

特别的，整个有向图游戏 G 的 SG 函数值被定义为有向图游戏起点 s 的 SG 函数值，即SG(G) = SG(s)。

6.2 有向图游戏的和：设G1 , G2 , ... , Gm是 m 个有向图游戏。定义有向图游戏 G ，它的行动规则是人选某个有向图游戏 Gi，并在 Gi 上行动一步。G 被称为有向图游戏 G1 , G2 , ... ,Gm 的和。

有向图游戏的和的SG函数值等于它包含的各个子游戏SG函数值的异或和，即：SG( G ) = SG(G1) xor SG(G2) xor ... xor SG(Gm)。

6.3 定理：

• 有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值大于0.
• 有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的SG函数值等于0.

6.4 证明：